Kumpulan Tugas Rodlial Ramdhan T.A,: Rangkuman Statistik Terapan

A. TEORI PELUANG

Pengertian Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Peristiwa / kejadian/event

- Pengertian Peluang : Kemungkinan yang telah diberi nilai numerik

- Definisi ruang sampel :Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian. Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.

- Definisi titik sampel : Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.

- Definisi Peristiwa/kejadian/event : Semua bagian yang mungkin diperoleh dari hasil percobaan

Hukum-hukum peluang

Peluang yang tidak mungkin terjadi : P(A)=0
Peluang yang mungkin terjadi : P(A)=1
Akibat hukum 1 dan hukum 2 : 0≤P(A) ≤1
P(A), P(A) ≈ p(A) + P(A)=1
Terjadi bersamaan (inklusif) : P(AUB) = P(A) + P(B) – P (A∩B)
Mutually Exclusive (saling menghilangkan) : P(AUB = P(A)+P(B)
Bersyarat è Jika peristiwa A di dahului untuk peristiwa B peluangnya :

P(A∩B) = P(B).P(A/B)

P(A).P(B/A)

Independent : P (A∩B) = P(A).P(B)

Contoh : jumlah kelereng 23, Merah 17, Hitam 6

a. P (M∩H) = 17/23 x 6/22 (Tanpa Pengembalian)

P (M∩H) = 17/23 x 6/23 (dengan pengembalian)

b. Peluang terambil 1 merah; 1 hitam

P(M∩H) = 17/23 x 6/22

P(H∩M) = 6/23 x 17/22

Contoh soal : seorang suami menunggu istrinya melahirkan, peluang anaknya kembar 3.

“ekspektasi”

Peristiwa	Uraian	Peluang
L=2	{LL}	¼
L=1	{LP, PL}	2/4
L=0	{PP}	¼

Zx = (2 x ¼) + (1x2/4) + (0 x 1/4) = ½+1/2+0=1

Kembar 3?

Peristiwa	Uraian	Peluang
L=3	{LLL}	1/8
L=2	{LLP, PLL, LPL}	3/8
L=1	{ppl,plp,lpp}	3/8
L=0	{ppp}	1/8

ZX = (3 x 1/8) + (2 x 3/8) + (1 x 3/8) + (0 x 1/8)

= 3/8 + 6/8 + 3/8 + 0

= 1 ½

B. PERMUTASI DAN KOMBINASI

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan. {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

Sedangkan permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan. {1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.

- Permutasi pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:

$Description: Description: n^r \,$

di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 4³ atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.

- Permutasi tanpa pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

$Description: Description: \frac{n!}{(n-r)!}$

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial. Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi. Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:

$Description: Description: \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n!$ karena 0! = 1! = 1

Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.

- Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

$Description: Description: {{n!} \over {r!(n - r)!}} = {n \choose r}$

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.

- Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

$Description: Description: {{(n + r - 1)!} \over {r!(n - 1)!}} = {{n + r - 1} \choose {r}} = {{n + r - 1} \choose {n - 1}}$

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.

Tabel Permutasi dan Kombinasi

Unsur	Permutasi	Kombinasi
1	₁P₁ =1	₁C₁ = 1
2	₂P₁ = 2 ₂P₂ = 2	₂C₁ = 2 ₂C₂ = 1
3	₃P₁ = 3 ₃P₂ = 6 ₃P₃ = 6	₃C₁ = 3 ₃C₂= 3 ₃C₃ = 1
4	₄P₁ = 4 ₄P₂ = 12 ₄P₃ = 24 ₄P₄ = 24	₄C₁ = 4 ₄C₂ = 6 ₄C₃ = 4 ₄C₄ = 1
5	₅P₁ = 5 ₅P₂ = 20 ₅P₃ = 60 ₅P₄ = 120 ₅P₅ = 120	₅C₁ = 5 ₅C₂ = 10 ₅C₃ = 10 ₅C₄ = 5 ₅C₅ = 1
6	₆P₁ = 6 ₆P₂ = 30 ₆P₃ = 120 ₆P₄ = 360 ₆P₅ = 720 ₆P₆ = 720	₆C₁ = 6 ₆C₂ = 15 ₆C₃ = 20 ₆C₄ = 15 ₆C₅ = 6 ₆C₆ = 1
7	₇P₁ = 7 ₇P₂ = 42 ₇P₃ = 210 ₇P₄= 840 ₇P₅ = 2520 ₇P₆ = 5040 ₇P₇ = 5040	₇C₁ = 7 ₇C₂ = 21 ₇C₃ = 35 ₇C₄ = 35 ₇C₅ = 21 ₇C₆ = 7 ₇C₇ = 1
8	₈P₁ = 8 ₈P₂ = 56 ₈P₃ = 336 ₈P₄ = 1680 ₈P₅ = 6720 ₈P₆ = 20160 ₈P₇ = 40320 ₈P₈ = 40320	₈C₁ = 8 ₈C₂ = 28 ₈C₃ = 56 ₈C₄ = 70 ₈C₅ = 56 ₈C₆ = 28 ₈C₇ = 8 ₈C₈ = 1
9	₉P₁ = 9 ₉P₂ = 72 ₉P₃ = 504 ₉P₄ = 3024 ₉P₅ = 15120 ₉P₆ = 60480 ₉P₇ = 181440 ₉P₈ = 362880 ₉P₉ = 363880	₉C₁ = 9 ₉C₂ = 36 ₉C₃ = 84 ₉C₄ = 126 ₉C₅ = 126 ₉C₆ = 84 ₉C₇ = 36 ₉C₈ = 9 ₉C₉ = 1
10	₁₀P₁ = 10 ₁₀P₂ = 90 ₁₀P₃ = 720 ₁₀P₄ = 5040 ₁₀P₅ = 30240 ₁₀P₆ = 151200 ₁₀P₇ = 604800 ₁₀P₈ = 1814400 ₁₀P₉ = 3628800 ₁₀P₁₀ = 3628800	10C1 = 10 ₁₀C₂ = 45 ₁₀C₃ = 120 ₁₀C₄ = 210 ₁₀C₅ = 252 ₁₀C₆ = 210 ₁₀C₇ = 120 ₁₀C₈ = 45 ₁₀C₉ = 10 ₁₀C₁₀ = 1

C. DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

1. Binomial =>

(1-P)^n-x

Contoh : Apabila FPMIPA menerima kiriman 20 set alat lab, kemudian pemeriksa ahli memilih 4 set secara acak. Bila 10% dari alat tersebut ternyata rusak, berapa peluang dari alat itu terambil baik, dan tanpa pemulihan.

Dik : N=20

n= 4

x= 4

Dit : p?

Jawab :

(1-P)^n-x

(0,9)⁴ (1-0,9)^4-4

(0,9)⁴.1

(0,9)⁴ = 0,6

2. Multinomial =>

. P₁^x.p₂^x

3. Hypergeometrik

Keterangan : N = Populasi

D = Jumlah kategori tertentu

n = sampel acak dari N besar

x = Banyaknya peristiwa

Contoh : 20% rusak dari 20, diambil 4, P (x=3) => baik

Ditanyakan PH ?

Jawab : N= 20, n= 4, x= 3, x= 4

4. Poisson

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi poisson (dilafalkan ejaan Perancis: [pwasɔ̃]) adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).

Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781–1840) dan diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838 dalam karyanyaRecherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (“Penelitian Probabilitas Hukum Masalah Pidana dan Perdata”). Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah kejadian diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama interval waktu tertentu.

Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah λ, maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, ...) maka sama dengan

$Description: Description: f(k; \lambda)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\,\!$

dimana

e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...)
k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa — peluang yang diberikan oleh fungsi ini
k! adalah faktorial dari k
λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. The Distribusi poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom.

D. DISTRIBUSI PELUANG KONTINYU

Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinu. Beberapa di antaranya misalnya untuk menyatakan waktu dan hasil pengukuran, jika X = variabel acak kontinu, maka harga X = x dibatasi oleh - ∞ < x < ∞.

q Fungsi densitas f(x)-nya, mengahsilkan harga

q Peluang X = x antara a dan b: P (a< X < b) =

q Ekspektasi untuk variabel acak kontinu X = E (X) =

Contoh:

Masa pakai, dinyatakan dengan X, untuk semacam alat dapat dilukiskan oleh fungsi densitas eksponensial dengan persamaan :

f(x) = ½ e^{-½ x}, x ≥ 0, dalam bulan dan e = 2,7183.

Tentukan peluang sebuah alat demikian yang dapat dipakai selama :

a. antara 3 dan 3½ bulan,

b. lebih dari 3 bulan,

c. tentukan pula rata-rata masa pakainya.

Jawab.

a) Dengan Rumus VII(6), maka

P (3 < X < 3½) =

= -e^-1,75 + e^-1,5 = - 0,1738 + 0,2231 = 0,0493.

Peluang masa pakai alat antara 3 dan 3½ bulan ialah 0,0493.

b) Dengan Rumus VII(6) dengan a = 3 dan b = ∞,maka

P (3 < X < ∞) =

= - 0 + e^-1,5 = 0,2231.

c) Untuk x ≥ 0, maka

E (X) =

Pukul rata masa pakai alat itu selama 2 bulan

1. Distribusi Normal

q Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan umumnya : P(X) =

dengan :

P(X)= fungsi densitas peluang normal

π = 3,1416, nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal .

e = 2,7183, bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal

X = Variabel acak kontinyu

μ = parameter, rata-rata untuk distribusi.

σ = parameter, simpangan baku untuk distribusi.

untuk - ∞ < X < ∞, maka dikatakann bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

q Sifat-sifat penting distribusi normal:

1. grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x.

2. bentuknya simetrik terhadap x = μ.

3. Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada x = μ sebesar

4. Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = μ + 3 σ ke kiri.

5. Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

ii. Untuk tiap pasang μ dan σ, sifat-sifat di atas selalu dipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

iii. Fungsi densitas f(x) yang menghasilkan harga-harga x:

iv. P (a < X < b) =

v. Rumus-rumus di atas tak perlu digunakan, karena daftar distribusi normal standar atau normal baku lihat Daftar F.

vi. Distribusi normal standar ialah distribusi normal dengan rata-rata μ = 0 dan simpangan baku σ = 1, fungsi densitasnya: f(z) =

Untuk z dalam daerah - ∞ < z < ∞.

vii. Mengubah distribusi normal umum dalam Rumus VII(8) menjadi distribusi normal baku dalam Rumus VII(11) dapat ditempuh dengan digunakan tranformasi: Z =

. Lihat perubahan grafiknya:

viii. Caranya mencarinya adalah :

1) hitung z sehingga dua desimal

2) gambarkan kurva normal standarnya

3) Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.

4) Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak di titik nol.

5) Dalam daftar, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal keduanya dicari pada baris paling atas

6) Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.

Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk 0, x x x x (bentuk 4 desimal). Karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap μ = 0, maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5.

Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku.

Akan dicari luas daerah :

1) antara z = 0 dan z = 2,15.

2) antara z = 0 dan z = -1,86

3) antara z = -1,50 dan z = 1,82

4) antara z = 1,40 dan z = 2,65.

5) antara z = 1,96 ke kiri

6) Dari z = 1,96 ke kanan.

2. Student (t)

q Distribusi Student atau distribusi t, ialah Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain daripada distribusi normal dengan fungsi densitasnya adalah :

f(t) =

- ∞ < t < ∞

Derajat kebebasan (dk)= (n-1)

Untuk harga-harga n yang besar, biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi normal baku.

q Beberapa contoh penggunaan daftar distribusi t.

1) Untuk n = 13, jadi dk = 12, dan p = 0,95 maka t = 1,78.

Ini didapat (lihat Daftar G dalam Apendiks)dengan jalan maju ke kanan dari 12 dan menurun dari 0,95.

2) Dengan v = 15 (lihat Daftar G, dalam Apendiks) kita maju ke kanan dan dari p = 0,975 kita menurun, didapat t = 2,13. Jadi antara t = -2,13 dan t = 2,13 luas yang diarsir = 0,95.

3) Tentukan t sehingga luas dari t ke kiri = 0,05 dengan dk = 9. Untuk ini p yang digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. Karena yang diminta kurang dari 0,5, maka t harus bertanda negatif. Jadi t = -1,83

3. Chi Kuadrat

q Distribusi chi kuadrat, merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu. Persamaannya:

f(u) = K . u^{½ v – 1} e^{-
½ u}

u =

untuk memudahkan menulis,

u > 0, v = derajat kebebasan, K = bilangan tetap yang tergantung pada v, sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan e = 2,7183.

Grafik distribusi chi kuadrat umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan. Kemiringan ini makin berkurang jika dk=v makin besar. Luas daerah yang diarsir sama dengan peluang p, yaitu luas dari

_p ke sebelah kiri.

q Beberapa contoh

1) Untuk mencari

dengan p = 0,95 dan dk v = 14, maka (lihat Daftar H, Apendiks) di kolom kiri cari bilangan 14 dan di baris atas 0,95. Dari 14 maju ke kanan dan dari 0,95 menurun, didapat x² = 23,7.

2) Untuk jumlah luas yang diarsir = 0,05, bisa terjadi banyak hal.

3) Karena distribusi

tidak simetrik, maka:

a. luas ujung daerah kanan bisa 0,04 dan luas ujung daerah kiri 0,01;

b. atau ujung kanan 0,03 dan ujung kiri 0,02 dan seterusnya.

c. Dalam beberapa hal, kecuali dinyatakan lain, bisa diambil luas daerah ujung kanan sama dengan luas daerah ujung kiri. Dalam hal ini masing-masing 0,025.

d. Untuk luas ujung kiri 0,025 dengan v = 9, maka

= 2,70.

e. Untuk luas ujung kanan 0,025 kita pakai p = 0,975 dengan v = 9. Didapat

= 19,0.

4. Distribusi F

q Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu. Fungsi densitasnya: . f(F) = K .

F > 0, K = bilangan tetap yang harganya bergantung pada v₁ = pembilang dan v₂ = dk penyebut sedemikian sehingga luas di bawah kurva sama dengan satu

q Grafik distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif. Lihat daftar distribusi F dalam Apendiks, Daftar I.

Untuk tiap dk = v₂, daftar terdiri atas dua baris; yang atas untuk peluang p = 0,05 dan yang bawah untuk p = 0,01.

q Contoh:

Ø Untuk pasangan dk v₁ = 24 dan v₂ = 8, ditulis juga (v₁, v₂) = (24, 8), maka untuk p = 0,05 didapat F = 3,12 sedangkan untuk p = 0,01 didapat F = 5,28 (lihat Daftar I, Apendiks). Ini didapat dengan jalan mencari 24 pada baris atas dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24 turun dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan-bilangan tersebut. Yang atas untuk p = 0,05 dan yang bawahnya untuk p = 0,01.

Ditulis dengan:F_0,05(24,8) = 3,12 dan F_0,01(24,8) = 5,28.

q Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0,01 dan p = 0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95.

q Untuk ini digunakan hubungan: F_{(1-p) (}v_2, v₁₎ =

q Dalam rumus di atas perhatikan antara p dan 1 – p dan pertukaran antara dk (v_1, v₂) menjadi (v_2, v₁).

Pada Contoh:

Telah didapat F_{0,05 (24,8)} = 3,12.

Maka F_0,95(8,24) =

= 0,321.

Maka peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu yang lahir pada 1 Januari = 0,724 + 0,253 = 0, 977.

E. UKURAN PERBANDINGAN

Ukuran perbandingan adalah ukuran atau bilangan yang digunakan untuk mengetahui kedudukan sesuatu hal dibandingkan dengan hal yang lainnya. Ukuran perbandingan dibagi menjadi 3, yaitu :

1. Angka Perbandingan : bila bilangan dari keadaan yang satu dibandingkan dengan bilangan dari keadaan yang lain.

2. Angka relatif : bila bilangan yang satu dibandingkan dengan bilangan yang lain dan dinyatakan dalam persentase

3. Angka indeks : angka relatif yang symbol persennya dihilangkan

· Angka Relatif

1. Perbandingan dua nilai dari suatu variabel pada waktu yang berbeda. Contoh :

- Import (1956)

- Import (1959)

2. Perbedaan nilai beberapa variabel pada waktu yang sama. Contoh :

- Import (1960)

- Eksport (1960)

3. Mengenal istilah

- Tahun Dasar

- Tahun yang dicari

4. Ada beberapa angka relatif

- AR Harga : (h_i/h_o) x 100%

- AR kuanta : (d_t/d_o)x 100%

- AR nilai : (n_t/n_o)x 100%

· Angka Indeks

Angka yang diharapkan dapat memberikan perubahan-perubahan sebuah atau lebih karakteristik pada waktu dan tempat yang sama atau berlainan. Perubaha yang dicari dalam angka indeks :

_1. 1 nilai suatu karakteristik, 2 waktu berbeda, 1 tempat yang sama. Contoh :

2. 2 nilai 1 karakteristik, 1 waktu, 2 tempat berbeda. Contoh :

3. Sederetan nilai suatu karakteristik, 1 nilai suatu karakteristik. Contoh :

4. Nilai sebuah karakteristik, 1 waktu, banyak tempat. Contoh :

5. Sederetan nilai sebuah karakteristik, sederetan nilai karakteristik lain, 1 waktu, 1 tempat. Contoh :

6. Nilai sekumpulan karakteristik (1 waktu), nilai sekumpulan karakteristik (waktu yang lain). Contoh :

7. 2 atau lebih karakteristik, 1 waktu, 1 tempat. Contoh :

8. Beberapa karakteristik dengan satuan yang berlainan. Contoh :

· Macam macam angka indeks :

1. Indeks Harga

2. Indeks Kuanta

3. Indeks Nilai

Harga ex timah (1954 – 1959)

Tahun	Harga	Indeks Harga
1954	1.973	100
1955	2.108	106,8
1956	2.249	113,9
1957	2.297	116,5
1958	2.275	115,3
1959	2.315	117,3

1. Tahun dasar 1954 :

2. Tahun 1955 :

3. Tahun 1956 :

4. Tahun 1957 :

F. TEORI SAMPLING

Sampling adalah sebagian dari populasi yang diambil dengan menggunakan cara-cara tertentu.

Sample (banyak objek) terdiri dari :

v Tak hingga

v Terhingga

Alasan sampling :

v Hemat biaya dan ekonomi

v Ketelitian

v Hemat biaya

v Percobaan yang merusak

v Populasi tak hingga

Banyaknya sample

v Banyaknya kombinasi

Metode sampling

v Dengan pengembalian

v Tanpa pengembalian

Rancangan Sampling :

Ø Rumuskan persoalan yang ingin diketahui

Ø Tentukan dengan jelas batas populasi mengenai persoalan yang ingin diketahui tersebut

Ø Definisikan dengan jelas dan tepat segala unit dan istilah yang diperlukan

Ø Tentukan unit sampling yang ingin diperlukan

Ø Tentukan dan rumuskan cara-cara pengukuran dan penilaian yang akan dilakukan

Ø Kumpulkan jika ada segala keterangan tentang hal yang ingin diteliti yang pernah dilakukan pada masa lampau

Ø Tentukan ukuran sample yakni beberapa sampling yang ingin diambil dari populasi

Ø Tentukan cara sampling yang mana akan ditempuh agar sample yang diperoleh refresentatif

Ø Tentukan cara pengumpulan data yang akan dilakukan, misalnya wawancara langsung, daftar isian, meneliti langsung atau mengumpulkan dari sumber

Ø Tentukan metode analisis mana yang akan digunakan

Ø Sediakan biaya dan meminta bantuan ahli baik berbentuk pembantu tetap atau hanya sebagai konsultan

Rancangan Sampling (secara singkat) :

Ø Masalah

Ø Batas populasi

Ø Definisi istilah-istilah

Ø Tentukan unit sampling

Ø Cara-cara pengukuran dan penelitian

Ø Keterangan pendukung

Ø Ukuran sample

Ø Cara sampling

Ø Cara pengumpulan data

Ø Metode analisis

Ø Biaya dan bantuan

Macam-macam Sampling

1. Seadanya atau seenaknya, berdasarkan :

a. Bahan yang tersedia

b. Kemudahan pengambilan data (hanya menginginkan gambaran kasar tentang populasi)

2. Sampling Pertimbangan (purfosif)

Pertimbangan perorangan memegang peranan bahkan menentukan didalam pengambilan sekumpulan objek yang diteliti

3. Sampling Peluang

Berdasarkan pada peluang yang ditentukan. Dianggap paling baik karena :

a. Kekeliruan dapat diperhitungkan atau diperkecil

b. Kekeliruan subjektif dapat dihindarkan

Macam-macam Sampling Peluang

1. Sampling acak berstrata (bertingkat)

Bagian

Populasi Bagian

Bagian

Masng-masing anggota bagian dipilih secara acak

2. Sampling sistematik

Diambil berdasarkan urutan tertentu dari populasi yang telah disusun sacara teratur

3. Sampling klaster

Bagian

populasi Bagian

Bagian

anggota bagian yang terpilih = anggota sample yang diperlukan

4. Sampling Ganda

Memungkinkan kita memperoleh hasil penelahaan suatu hal berdasarkan pada sample yang berukuran lebih kecil.

5. Sampling Multiple

Perluasan dari sampling ganda ialah sampling multiple.dalam hal ini pengambilan sampel dilakukan lebih dari dua kali dan tiap kali digabungkan menjadi sebuah sample. Pada setiap gabungan, analisis dilakukan pada kesimpulan diadakan dan sampling berhenti apabila sudah memenuhi kriteria yang telah direncanakan.

Untuk menggunakan sampling ganda atau sampling multiple, sebuah rencana sampling yang baik terlebih dahulu harus dibuat ini semua termasuk cara-cara sampling. Cara-cara sampling lainnya dapat dipelajari dalam bagian statistika lain yang disebut teknik sampling.

6. Sampling Sekuansial

Sampling ini sebenarnya juga sampling multiple. Perbedaannya adalah dalam sampling sekunsial tiap anggota sample diambil satu demi satu dan ada tiap kali selasai mengambil anggota, analisis dilakukan lalu berdasarkan ini kesimpulan diadakan apakah sampling berhenti ataukah dilanjutkan. Tentu saja setiap anggota yang diambil disatukan dengan anggota-anggota yang diambil disatukan dengan anggota-anggota yang diambil terlebih dahulu sebelum kesimpulan diadakan pada tingkat itu.

Keliruan Sampling dan Kekeliruan Non Sampling

Dalam penelitian ada dua macam kekeliruan yag pokok biasa terjadi yaitu :

1. Kekeliruan Sampling

Kekeliruan ini bisa terjadi dalam setiap penelitian, apakah ini berdasarkan sampling ataukah

Berdasarkan sensus. Beberapa penyebab terjadinya kekeliruan non sampling :

a. Populasi tidak didefinisikan sebagaimana mestinya

b. Populasi yang menyimpang dari populasi yang seharusnya dipelajari

c. Kuesener tidak dirumuskan sebagaimana mestinya

d. Istilah-istilah telah didefinisikan secara tidak tepat atau atau telah digunakan tidak secara konsisten

e. Para responden tidak memberikan jawaban yang akurat, menolak untuk menjawab atau tidak ada ditempat ketika petugas datang untuk melakukan wawancara.

Selain daripada itu, kekeliruan non sampling bisa terjadi pada waktu mencatat data, melakukan tabulasi dan melakukan perhitungan-perhitungan. Kekeliruan ini dapat menimbulkan kesulitan-kesulitan pada penelitian. Karenanya, cukup jelas bahwa hal demikian perlu untuk dihindarkan.

Kekeliruan Sampling

Kekeliruan ini timbul disebabkan oleh kenyataan adanya pemeriksaan yang tidak lengkap tentang populasidan penelitian hanya dilakukan berdasarkan sample. Jelaslah bahwa penelitian terhadap sample yang diambil dari sebuah populasi dan penelitian terhadap populasi itu sendiri, kedua penelitian dengan prosedu yang sama, hasilnya akan berbeda. Perbedaan antara hasil simple dan hasil yang akan dicapai jika prosedur yang sama yang digunakan dalam sampling juga digunakan dalam sensus dinamakan kekeliruan sampling. Para ahli statistika telah berusaha untuk mengukur dan memperhitungkan kekeliruan ini supaya dapat dikontrol. Cara untuk dapat melakukannya ialah dengan jalan mengambil sample berdasarkan sampling acak dan memperbesar ukuran sample.

Kekeliruan pada penelitian

Kekeliruan Sampling kekeliruan non sampling

Populasi yang tidak jelas Pertanyaan harus:

· Jelas

· Mudah dimengerti

· Objek ada

G. DISTRIBUSI PELUANG

Distribusi peluang terdiri dari :

1. Disrtibusi Rata-rata

2. Distrubusi Proporsi

3. Distribusi Simpangan Baku

4. Distribusi Median

5. Distribusi Selisih Rata-rata

6. Distribusi Selisih Proporsi

1. Distribusi Rata-rata

)

(sigma indeks x garis )

Keterangan : kekeliruan standar atau baku rata-rata, galat baku rata-rata

5 %

_{x =}

5 %

_{x =}

₌

Distribusi normal n

30 z =

Contoh soal :

n = 20 maka

N =

n = 20 = 0.6 maka

N = 30

2. Distribusi Proporsi

₌

Distribusi Normal z =

Ø Kekeliruan Standar / baku proporsi

Ø Galat baku proporsi

3. Distribusi Simpangan Baku

_sn

_s=

Distribusi Normal z =

Ø Kekeliruan Standar / baku simpangan baku

Ø Galat baku simpangan baku

4. Distribusi Median

Me =

5. Distribusi Selisih rata-rata

_{1 –}

₂

Atau

_{1 –}

₂

Distribusi Normalnya :

z =

_{1 +}

₂

Distribusi Normalnya :

z =

6. Distribusi Selisih Proporsi

Distribusi Normalnya :

Z =

Contoh Soal distribusi rata-rata :

Distribusi rata-rata tinggi badan mahasiswa rata-rata 165 cm. Simpangan 8.4 cm, sampel acak terdiri dari 45 mahasiswa. Tentukan peluang tinggi rata-rata ke- 45 mahasiswa tersebut.

a. Antara 160 – 168 cm

b. Paling sedikit 166 cm

Jawab

n = 45

= 165 cm

= 1. 252 cm

= -3. 99 0.5 (dari tabel)

= 2. 40 0. 4918 (dari tabel)

0.50 0. 4819

_{-3. 99} ₀ _{2. 40}

Peluangnya : 0.50 + 0. 4819 = 0. 9918

b. Paling sedikit 166 cm

= 0.80 0.2881 (dari tabel)

^0.2881

⁰^{0. 80}

Peluangnya : 0.5 – 0. 2881 = 0.2119

Contoh soal distribusi Proporsi

Ada petunjuk kuat bahwa 10 % anggota masyarakat tergolong ke dalam golongan A. Sebuah sampel acak berukuran 100 telah diambil :

a. Tentukan peluangnya bahwa 100 orang, itu akan ada paling sedikit 15 orang dari golongan A

b. Berapa orang harus dimiliki agar presentase golongan A dari sampel yang satu dengan yang lainnya, diharapkan berbeda paling besar 2 %

Jawab

n = 100 paling sedikit 15 golongan A

= 0. 15

₌

= 0.03

Z =

= 1.67 0.4525 (dari tabel)

0.5 – 0.4525 = 0.04575

^0.04575

^{0
1.67}

H. MENAKSIR PARAMETER

Kelemahan Menaksir :

0. Menaksir

(theta ₌parameter populasi) dengan

(theta topi ₌penaksir atau titik taksiran,terlalutinggi)

1. menaksir

dengan

terlalu rendah

Ciri-ciri menaksir yang baik :

1. Tak bias (

(

) = 0

2. Bervarians minimun

Konsisten (n N)

Cara menaksir :

1. Interval atau selang taksiran

2. Derajat atau koefisien kepercayaan (

)

1. Menaksir Rata-rata

a. Simpangan baku

· Simpangan baku

) diketahui

· Populasi berdistribusi nomal

(i)

5 %

- z _½

+ z _½

(ii)

5 %

- z _½

z _½

- z _½

= batas bawah

+ z _½

= batas atas

z _½

= kekeliruan peluang pada rata-rata

b. Simpangan Baku (

) tidak diketahui

· Populasi berdistribusi normal

(i)

5 %

- t_{p .}

< µ <

+ t_p.

(ii)

> 5 %

- t_{p .}

_{< µ <}

₊t_{p .}

Simpangan baku (

) tidak diketahui

· Populasi tidak berdistribusi normal

t_pt pada p p =

( 1 +

)

contoh soal

sebuah sampel acak, terdiri dari 100 mahasiswa, nilai IQ nya dicatat didapat

= 112, dan s = 10,

= 0.95.

jawab

n = 100

= 112 penaksir (

)

s = 10

= 0.95

Rumus : b - simpangan baku (

) tidak diketahui

Distribusi normal - b (i)

5 %

- t_{p .}

< µ <

+ t_p.

v = dk = n-1

= 100-1

= 99

P =

(1 +

)

(1 + 0.95)

(1.95)

P = 0.975

t_p= 1.987 (dari tabel)

- t_{p .}

< µ <

+ t_p.

112 – (1.987) (

112 + (1.987)

112 – 1.987 . 1 < µ < 112 + 1.987 . 1

112 – 1.987 < µ < 112 + 1.987

110 < µ < 114

II. Menaksir Proporsi

p – z _1/2

< p + z _1/2

misalkan kita ingin menaksir ada berapa persen anggota masyarakat yang berumur 15 tahun keatas, yang termasuk kedalam golongan A. Untuk ini sampel acak berukuran 1200, diambil mengasilkan 504 tergolong kategori A, koefisien kepercayaan 95 %.

Jawab

Diketahui :

n = 1200

= 95 %

p =

= 0.42

q = 1- p

= 1- 0.42

= 0.58

z ½

= z ½ . 0.95

= z 0.475

= 1.96

= 0.42 – (1.96)

< 0.42 + (1.96)

= 0.39 <

< 0.45

Batas bawah

Kekeliruan peluang rata-rata

. 1.96 = 0.027

0.03

Jadi, 95 % interval kepercayaan masyarakat berusia 15 tahun ke atas berada diantara 39 % - 45 %.

III. Menaksir simpangan baku

Contoh :

n = 30, distribusi normal simpangan baku

= 7.8

= 0.95

Jawab

dk = n-1

= 30 – 1

= 29

= 45.7 ½ (1 + 0.95) = ½ (1.95) = 0.975

= 16 ½ (1 - 0.95) = 1 – 0.975 = 0.025

= 4.95

14.14 = interval taksiran untuk simpangan baku = 2.23

3.75

PENGUJIAN HIPOTESIS

· Hipotesis Statistik : pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi.

· Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis.

· Kebenaran (benar atau salahnya ) suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. (Memeriksa seluruh populasi? Apa mungkin?)

Lalu apa yang kita lakukan, jika kita tidak mungkin memeriksa seluruh populasi untuk memastikan kebenaran suatu hipotesis?

· Kita dapat mengambil contoh acak, dan menggunakan informasi (atau bukti) dari contoh itu untuk menerima atau menolak suatu hipotesis.

Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENOLAK hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU BENAR

dan

Penolakan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENERIMA hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU SALAH.

· Landasan penerimaan dan penolakan hipotesis seperti ini, yang menyebabkan para statistikawan atau peneliti mengawali pekerjaan dengan terlebih dahulu membuat hipotesis yang diharapkan ditolak, tetapi dapat membuktikan bahwa pendapatnya dapat diterima.

Perhatikan contoh-contoh berikut :

Contoh 1.

Sebelum tahun 1993, pendaftaran mahasiswa Universtas GD dilakukan dengan pengisian formulir secara manual. Pada tahun 1993, PSA Universitas GD memperkenalkan sistem pendaftaran "ON-LINE". Seorang Staf PSA ingin membuktikan pendapatnya “bahwa rata-rata waktu pendaftaran dengan sistem ON-LINE akan lebih cepat dibanding dengan sistem yang lama” Untuk membuktikan pendapatnya, ia akan membuat hipotesis awal, sebagai berikut :

Hipotesis Awal : rata-rata waktu pendaftaran SISTEM "ON-LINE" sama saja dengan SISTEM LAMA.

Staf PSA tersebut akan mengambil contoh dan berharap hipotesis awal ini ditolak, sehingga pendapatnya dapat diterima!

Contoh 2 :

Manajemen PERUMKA mulai tahun 1992, melakukan pemeriksaan karcis KRL lebih intensif dibanding tahun-tahun sebelumnya, pemeriksaan karcis yang intensif berpengaruh positif terhadap penerimaan PERUMKA. Untuk membuktikan pendapat ini, hipotesis awal yang diajukan adalah :

Hipotesis Awal :

TIDAK ADA PERBEDAAN penerimaan SESUDAH maupun SEBELUM dilakukan perubahan sistem pemeriksaan karcis. Manajemen berharap hipotesis ini ditolak, sehingga membuktikan bahwa pendapat mereka benar!

Contoh 3.

Eko Nomia S.Kom., seorang system analis memperbaiki sistem pembebanan biaya di perusahaan tempatnya bekerja. Ia berpendapat setelah perbaikan sistem pembebanan biaya pada produk maka rata-rata harga produk turun. Bagaimana ia menyusun hipotesis awal penelitiannya?

Hipotesis Awal : .........?

· Hipotesis Awal yang diharap akan ditolak disebut : Hipotesis Nol (

)

· Penolakan

membawa kita pada penerimaan Hipotesis Alternatif (

) (beberapa buku menulisnya sebagai

)

· Nilai Hipotesis Nol (

) harus menyatakan dengan pasti nilai parameter.

ditulis dalam bentuk persamaan

· Sedangkan Nilai Hipotesis Alternatif (

) dapat memiliki beberapa kemungkinan.

ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (< ; > ; )

Contoh 4.

Pada sistem lama, rata-rata waktu pendaftaran adalah 50 menit

Kita akan menguji pendapat Staf PSA tersebut, maka

Hipotesis awal dan Alternatif yang dapat kita buat :

: = 50 menit (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda)

: 50 menit (sistem baru tidak sama dengan sistem lama)

atau

: = 50 menit (sistem baru sama dengan sistem lama)

: < 50 menit ( sistem baru lebih cepat)

· Penolakan atau Penerimaan Hipotesis dapat membawa kita pada 2 jenis kesalahan (kesalahan= error = galat), yaitu :

1. Galat Jenis 1 Penolakan Hipotesis Nol (

) yang benar

Galat Jenis 1 dinotasikan sebagai

a juga disebut taraf nyata uji

Catatan : konsep dalam Pengujian Hipotesis sama dengan konsep konsep pada Selang Kepercayaan

2. Galat Jenis 2 Penerimaan Hipotesis Nol (

) yang salah

Galat Jenis 2 dinotasikan sebagai

· Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai dan

· Dalam perhitungan, nilai dapat dihitung sedangkan nilai hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis alternatif sangat spesifik.

· Pada pengujian hipotesis, kita lebih sering berhubungan dengan nilai . Dengan asumsi, nilai yang kecil juga mencerminkan nilai yang juga kecil.

· Prinsip pengujian hipotesa adalah perbandingan nilai statistik uji (z hitung atau t hitung) dengan nilai titik kritis (Nilai z tabel atau t Tabel)

· Titik Kritis adalah nilai yang menjadi batas daerah penerimaan dan penolakan hipotesis.

· Nilai pada z atau t tergantung dari arah pengujian yang dilakukan.

2. Arah Pengujian Hipotesis

· Pengujian Hipotesis dapat dilakukan secara : 1. Uji Satu Arah

2. Uji Dua Arah

2.1 Uji Satu Arah

Pengajuan

dan

dalam uji satu arah adalah sebagai berikut:

: ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

: ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)

Contoh 5.

Contoh Uji Satu Arah

: = 50 menit b.

: = 3 juta

: < 50 menit

: < 3 juta

Nilai tidak dibagi dua, karena seluruh diletakkan hanya di salah satu sisi selang misalkan :

Wilayah Kritis **) :

atau

adalah suatu nilai tengah yang diajukan dalam

**) Penggunaan z atau t tergantung ukuran contoh

contoh besar menggunakan z; contoh kecil menggunakan t.

luas daerah terarsir

ini = a

-z a atau - t(db;a) 0

Wilayah Kritis **) :

atau

luas daerah terarsir

ini = a

0 z a atau t (db;a)

daerah terarsir daerah penolakan hipotesis

daerah tak terarsir daerah penerimaan hipotesis

2.2 Uji Dua Arah

Pengajuan

dan

dalam uji dua arah adalah sebagai berikut :

: ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

: ditulis dengan menggunakan tanda

3 Pengerjaan Uji Hipotesis

3.1 7 Langkah Pengerjaan Uji Hipotesis

1. Tentukan

dan

2* Tentukan statistik uji [ z atau t]

3* Tentukan arah pengujian [1 atau 2]

4* Taraf Nyata Pengujian [a atau a/2]

5. Tentukan nilai titik kritis atau daerah penerimaan-penolakan

6. Cari nilai Statistik Hitung

7. Tentukan Kesimpulan [terima atau tolak

]

*) Urutan pengerjaan langkah ke2, 3 dan 4 dapat saling dipertukarkan!

M Beberapa Nilai z yang penting

=1.645

=1.96

= 2.33

= 2.575

3.2 Rumus-rumus Penghitungan Statistik Uji

1. Nilai Tengah dari Contoh Besar

2. Nilai Tengah dari Contoh Kecil

3. Beda 2 Nilai Tengah dari Contoh Besar

4. Beda 2 Nilai Tengah dari Contoh Kecil

	Nilai Uji Statistik	Wilayah Kritis
1. contoh besar n30	s dapat diganti dengan s	dan
2. contoh kecil n<30		dan db = n-1
3. contoh-contoh besar 30 30	Jika dan tidak diketahui gunakan dan	dan
4. contoh -contoh kecil < 30 < 30			dan db =

3.2.1 Uji Hipotesis Nilai Tengah Contoh Besar

Contoh 6 :

Dari 100 nasabah bank rata-rata melakukan penarikan $495 per bulan melalui ATM, dengan simpangan baku = $45. Dengan taraf nyata 1% , ujilah :

a) apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM kurang dari $500 per bulan ?

b} apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM tidak sama dengan $500 per bulan ?

(Uji 2 arah, a/2 = 0.5%, statistik uji=z)

Diketahui:

= 495 s = 45 n=100

=500 a=1%

a) 1.

: m = 500

: m < 500

2. statistik uji : z ® karena contoh besar

3. arah pengujian : 1 arah

4. Taraf Nyata Pengujian = a = 1% = 0.01

5. Titik kritis ® z < -

® z < - 2.33

6. Statistik Hitung

= -1.11

7. Kesimpulan : z hitung = -1.11 ada di daerah penerimaan

diterima, rata-rata pengambilan uang di ATM masih = $ 500

Daerah penolakan

luas daerah terarsir

ini = a = 1%

Daerah penerimaan

-2.33 0

b) ditinggalkan sebagai latihan (

: m¹ 500; Uji 2 arah, a/2 = 0.5%, statistik uji=z)

3.2.2. Uji Hipotesis Nilai Tengah Contoh Kecil

Contoh 7 :

Seorang job-specialist menguji 25 karyawan dan mendapatkan bahwa rata-rata penguasaan pekerjaan kesekretarisan adalah 22 bulan dengan simpangan baku = 4 bulan. Dengan taraf nyata 5% , ujilah :

a) Apakah rata-rata penguasaan kerja kesekretarisan lebih dari 20 bulan?

b) Apakah rata-rata penguasaan kerja kesekretarisan tidak sama dengan 20 bulan?

Diketahui :

= 22 s = 4 n = 25

= 20 a = 5%

a) Ditinggalkan sebagai latihan (

: m > 20; uji 1 arah, a=5%, statistik uji = t, db = 24)

b) 1.

: m = 20

: m ¹ 20

2. statistik uji : t ® karena contoh kecil

3. arah pengujian : 2 arah

4. Taraf Nyata Pengujian = a = 5% = 0.05

a/2 = 2.5% = 0.025

5. Titik kritis

db = n-1 = 25-1 = 24

Titik kritis ®

dan

t < -t (24; 2.5%) ® t < -2.064 dan

t > t (24; 2.5%) ® t > 2.064

6. Statistik Hitung

= 2.5

7. Kesimpulan : t hitung = -2.5 ada di daerah penolakan

ditolak,

diterima ,

rata-rata penguasaan pekerjaan kesekretarisan ¹ 20 bulan

Daerah penolakan

= Daerah penolakan

= luas daerah terarsir luas daerah terarsir ini ini = a/2 = 2.5% a/2 = 0.5%

Daerah penerimaan

-2.064 0 2.064

J. KOEFISIEN

A. Koefisien Regresi Berganda (Multiple Regression)

Menurut Julie Pallant dan Andy Field, Uji Regresi Berganda punya sejumlah asumsi yang tidak boleh dilanggar. Asumsi-asumsi Uji Regresi Berganda adalah :

1. Ukuran Sampel

Masalah berkenaan ukuran sampel di sini adalah generabilitas. Dengan sampel kecil anda tidak bisa melakukan generalisasi (tidak bisa diulang) dengan sampel lainnya. Berbeda penulis berbeda berapa sampel yang seharusnya dalam uji Regresi Berganda. Stevens (1996, p.72) merekomendasikan bahwa “untuk penelitian ilmu sosial, sekitar 15 sampel per prediktor (variabel bebas) dibutuhkan untuk mengisi persamaan uji regresi.” Tabachnick and Fidell (1996, p.132) memberi rumus guna menghitung sampel yang dibutuhkan uji Regresi, berkaitan dengan jumlah variabel bebas yang digunakan :

n>50+8m
Dimana :
n = Jumlah Sampel

m = Jumlah Variabel Bebas

Jika peneliti menggunakan 5 variabel bebas, maka jumlah sampel yang dibutuhkan adalah 90 orang, dalam mana 50 ditambah ( 5 x 8) = 50 + 40 = 90.

2. Outlier

Regresi Berganda sangat sensitif terhadap Outlier (skor terlalu tinggi atau terlalu rendah). Pengecekan terhadap skor-skor ekstrim seharusnya dilakukan sebelum melakukan Regresi Berganda. Pengecekan ini dilakukan baik terhadap variabel bebas maupun terikat. Outlier bisa dihapus dari data atau diberikan skor untuk variabel tersebut yang tinggi, tetapi tidak terlampau beda dengan kelompok skor lainnya. Prosedur tambahan guna mendeteksi outlier juga terdapat pada program SPSS file mah_1. Outlier pada variabel terikat dapat diidentifikasi dari Standardised Residual plot yang dapat disetting. Tabachnick and Fidell (1996, p. 139) menentukan outlier adalah nilai-nilai Standardised Residual di atas 3,3 (atau < - 3,3).

Outlier juga bisa dicek menggunakan jarak Mahalanobis yang tidak diproduksi oleh program Regresi Berganda SPSS ini. Ia tidak terdapat dalam output SPSS. Untuk mengidentifikasi sampel mana yang merupakan Outlier, anda perlu menentukan nilai kritis Chi Square, dengan menggunakan jumlah variabel bebas yang digunakan dalam penelitian sebagai “degree of freedom-nya” atau derajat kebebasan. Pallant menggunakan Alpha 0,001 agar lebih meyakinkan, yang rinciannya sebagai berikut :

Untuk menggunakan tabel kritis Chi Square, lakukan langkah berikut :

Tentukan variabel bebas yang digunakan dalam analisis;
Temukan nilai di atas pada salah satu kolom berbayang; dan
Baca melintasi kolom untuk menemukan nilai kritis yang dikehendaki.

2. Normalitas Residu

Normalitas adalah residu yang seharusnya terdistribusi normal seputar skor-skor variabel terikat. Residu adalah sisa atau perbedaan hasil antara nilai data pengamatan variabel terikat terhadap nilai variabel terikat hasil prediksi. Untuk melihat apakah residu normal atau tidak, dapat dilakukan dengan cara berikut :

Melihat grafik Normal P-P Plot, dan
Uji Kolmogorov-Smirnov

Pada grafik Normal P-P Plot, residu yang normal adalah data memencar mengikuti fungsi distribusi normal yaitu menyebar seiring garis z diagonal. Residu normal dari uji Kolmogorov-Smirnov adalah diperolehnya nilai p > 0,05. Linieritas adalah residual yang seharusnya punya hubungan dalam bentuk “straight-line” dengan skor variabel terikat yang diprediksi. Homoskedastisitas adalah varians residual seputar skor-skor variabel terikat yang diprediksi seharusnya sama bagi skor-skor yang diprediksi secara keseluruhan.

3. Multikolinieritas

Uji Regresi mengasumsikan variabel-variabel bebas tidak memiliki hubungan linier satu sama lain. Sebab, jika terjadi hubungan linier antarvariabel bebas akan membuat prediksi atas variabel terikat menjadi bias karena terjadi masalah hubungan di antara para variabel bebasnya.

Dalam Regresi Berganda dengan SPSS, masalah Multikolinieritas ini ditunjukkan lewat tabel Coefficient, yaitu pada kolom Tolerance dan kolom VIF (Variance Inflated Factors). Tolerance adalah indikator seberapa banyak variabilitas sebuah variabel bebas tidak bisa dijelaskan oleh variabel bebas lainnya. Tolerance dihitung dengan rumus 1 – R2 untuk setiap variabel bebas. Jika nilai Tolerance sangat kecil (< 0,10), maka itu menandakan korelasi berganda satu variabel bebas sangat tinggi dengan variabel bebas lainnya dan mengindikasikan Multikolinieritas. Nilai VIF merupakan invers dari nilai Tolerance (1 dibagi Tolerance). Jika nilai VIF > 10, maka itu mengindikasikan terjadinya Multikolinieritas.

Hipotesis untuk Multikolinieritas ini adalah :

4. Autokorelasi

Autokorelasi juga disebut Independent Errors. Regresi Berganda mengasumsikan residu observasi seharusnya tidak berkorelasi (atau bebas). Asumsi ini bisa diuji dengan teknik statistik Durbin-Watson, yang menyelidiki korelasi berlanjut antar error (kesalahan). Durbin-Watson menguji apakah residual yang berdekatan saling berkorelasi. Statistik pengujian bervariasi antara 0 hingga 4 dengan nilai 2 mengindikasikan residu tidak berkorelasi. Nilai > 2 mengindikasikan korelasi negatif antar residu, di mana nilai < 2 mengindikasikan korelasi positif. >

Cara melakukan uji Durbin-Watson adalah, nilai Durbin-Watson hitung harus lebih besar dari batas atas Durbin-Watson tabel. Syarat untuk mencari Durbin-Watson tabel adalah Tabel Durbin-Watson. Untuk mencari nilai Durbin-Watson tabel :

tentukan besar n (sampel) dan k (banyaknya variabel bebas).
Tentukan taraf signifikansi penelitian yaitu 0,05.

Durbin-Watson hitung dapat dicari dengan SPSS. Nilai Durbin-Watson hitung terdapat dalam output SPSS, khususnya pada tabel Model Summary. Hipotesis untuk Autokorelasi ini adalah :

Pengambilan keputusannya adalah :

Dengan kurva normal pengambilan Durbin-Watson:

Terima H0 jika Durbin-Watson hitung lebih besar dari ..... dan Durbin-Watson hitung lebih kecil dari 4 - .....; Artinya tidak ada Autokorelasi.
Tolak H0 jika Durbin-Watson hitung lebih kecil dari ..... atau 4 - ..... lebih kecil dari .....; Artinya ada Autokorelasi.

5. Homoskedastisitas

Uji Regresi bisa dilakukan jika data bersifat Homoskedastisitas bukan Heteroskedastisitas. Homoskedastisitas adalah kondisi dalam mana varians dari data adalah sama pada seluruh pengamatan. Terdapat sejumlah uji guna mendeteksi gejala heteroskedastisitas misalnya uji Goldfeld-Quandt dan Park. Namun, Wang and Jain beranggapan bahwa Uji Park dapat lebih teliti dalam memantau gejala heteroskedastisitas ini. Dengan demikian, penelitian ini akan menggunakan Uji Park guna menentukan gejala heteroskedastisitas variabel-variabelnya.

Uji Park dilakukan dengan meregresikan nilai residual (Lne2) dengan masing-masing variabel independent. “The Park test suggests that if heteroscedasticity is present, the heteroscedastic varianc eσ_i^2 may be systematically related to one or more of the explanatory variables.” Rumus uji Park sebagai berikut :

B. Koefisien Determinasi

Dalam uji Regresi Berganda, Koefisien Determinasi digunakan untuk mengetahui persentase sumbangan pengaruh serentak variabel-variabel bebas terhadap variabel terikat. Untuk itu, digunakan angka-angka yang ada pada Tabel Model Summary.

Cara menentukan Koefisien Determinasi sangatlah mudah. Peneliti tinggal melihat nilai pada kolom R2 dikalikan 100%. Misalnya nilai R2 adalah 0,7777. Dengan demikian Koefisien Determinasinya = 0,7777 x 100% = 77,77%. Jadi, secara serentak variabel-variabel bebas mempengaruhi variabel terikat sebesar 77,77%. Sisanya, yaitu 100 – 77,77% = 22,23% ditentukan oleh variabel-variabel lain yang tidak disertakan di dalam penelitian.

G. Koefisien Regresi Parsial

Koefisien Regresi Parsial menunjukkan apakah variabel-variabel bebas punya pengaruh secara parsial (terpisah atau sendiri-sendiri) terhadap variabel terikat?

Pada Tabel Coefficient, pengujian Hipotesis akan dilakukan. Uji hipotesis dilakukan dengan menggunakan Uji t. Pernyataan Hipotesis yang hendak diuji sebagai berikut :

Nilai t hitung bisa dilihat pada kolom t bagi masing-masing variabel bebas.

Nilai t tabel bisa dicari dengan cara berikut ini :

α = 0,05; untuk uji 2 sisi = 0,025
Degree of Freedom (df) = jumlah sampel – jumlah variabel bebas – 1 (angka 1 adalah konstanta) = 48 – 4 – 1 = 43.
Cari persilangan antara df = 43 dan 0,025.
Pencarian nilai t tabel dengan Excel mudah sekali. Ketik rumus =tinv(0,05;43).

PENUTUP

Demikian Rangkuman Statistik terapan ini saya buat. Mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penulisan. Sesungguhnya yang benar itu datang dari ALLAH, dan yang salah itu datang dari saya sendiri selaku manusia yang tak luput dari kesalahan.

Semoga rangkuman statistik terapan ini bermanfaat khususnya bagi penyusun, umumnya bagi semuanya yang membaca. Penyusun menyadari rangkuman ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik serta saran sangatlah diperlukan guna memperbaiki kesalahan di masa yang akan datang.

Akhir kata penyusun mengucapkan wabilahitaufik walhidayah waridha walinayah wassalammualaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Kumpulan Tugas Rodlial Ramdhan T.A,

Jumat, 21 Desember 2012

Rangkuman Statistik Terapan

J. KOEFISIEN

A. Koefisien Regresi Berganda (Multiple Regression)

B. Koefisien Determinasi

G. Koefisien Regresi Parsial

4 komentar: